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01—包含的概念
在学习概率论时，我们经常会接触到几个基本概念。通过具体例子，我们可以更好地理解这些概念：
随机变量：用于表示实验结果的变量，其取值依赖于随机事件的结果。
离散型随机变量：随机变量的可能取值是有限个或可数多个。
古典概率：在相同条件下实验的所有可能结果数量已知，计算概率时假定所有结果等可能发生。
概率分布函数：用于描述随机变量可能取值的概率。
02—例子阐述以上概念
我们来通过一个具体例子阐述这些概念：
假设有一堆苹果，总共有5个，其中有好的苹果和坏的苹果。如果定义一个事件：从中取出一个苹果，其好坏情况用随机变量 ( X ) 表示。那么，( X ) 就是一个随机变量。这个随机变量的可能取值是两种：( x_0 = ext{好果} )，( x_1 = ext{坏果} )。显然，随机变量 ( X ) 是离散的，因为只有这两种取值。并且，满足条件 ( P(X = x_0) P(X = x_1) = 1 )，因为每个苹果非好即坏。
再进一步，如果从这5个苹果中任意取出3个，定义事件：所取的苹果中好苹果的数量用随机变量 ( Y ) 表示。那么，这个随机变量 ( Y ) 有什么特点呢？这个随机变量与之前定义的 ( X ) 略有不同。此时，( Y ) 仍然是离散型随机变量，但它可能的取值是：0个好苹果、1个好苹果或2个好苹果。
我们可以使用古典概率的方法分析这个离散型随机变量 ( Y ) 的概率分布：
取到0个好苹果的概率：( P(Y = 0) = frac{ ext{坏苹果的组合}}{ ext{所有组合}} = frac{inom{3}{3}}{inom{5}{3}} )
取到1个好苹果的概率：( P(Y = 1) = frac{ ext{1个好苹果和2个坏苹果的组合}}{ ext{所有组合}} = frac{inom{2}{1} cdot inom{3}{2}}{inom{5}{3}} )
取到2个好苹果的概率：( P(Y = 2) = frac{ ext{2个好苹果和1个坏苹果的组合}}{ ext{所有组合}} = frac{inom{2}{2} cdot inom{3}{1}}{inom{5}{3}} )
可以验证这三个概率的总和为1。随后，随机变量 ( Y ) 的分布函数 ( F(y) ) 可以表示为：
[F(0) = P(Y leq 0) = P(Y = 0)][F(1) = P(Y leq 1) = P(Y = 0) P(Y = 1)][F(2) = P(Y leq 2) = P(Y = 0) P(Y = 1) P(Y = 2) = 1]
这里总结一下离散型随机变量的分布函数特性：分布函数是概率的积分，在某个区间内计算概率的累加。对于离散型随机变量，分布函数呈阶梯状增长，因为其概率分布在有限个离散点上累积。如上所示，( F(1) = P(Y leq 1) = 0.7 )，直到( F(2) = 1.0 )，它才达到了最大值。
这种阶梯状的增长反映了离散型随机变量的特性，是理解更复杂随机变量行为的基础。
请记住：每天一小步，日积月累一大步！
